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《优化设计》练习b类要求
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指数的威力从前有一位国王与国际象棋冠军下棋，国王问他：“如果你赢了，希望得到什么奖赏？”冠军回答说：“希望陛下赏我大米。”国王又问：“你想要多少呢？”冠军说：“请陛下叫人在棋盘上放米粒，第一格放一粒，第二格放两粒，第三格放四粒，第四格放八粒，就这样按照后一格比前一格多一倍的规律放下去，一直放到最后一格为止。”国王心想：小小棋盘一共才那么几十格，能放下多少粒米？就爽快地答应了。几盘棋下来国王输了，马上令人抬来一袋米，对冠军说：“你赢得也不容易，多给你一点算了，就免掉在棋盘上放米粒的麻烦吧。”冠军坚持要按原先讲好的办。国王不能当众食言，只好叫人数着米粒往棋盘的格子里放，不多久就放不下了。国王命一位懂数学的大臣算算看到底需要多少米？算出来的结果把国王吓坏了，不要说一袋米不够，就是将全国粮仓中的米都搬来也还差得远！国王顿时满面愁容不知所措，这时冠军挥挥手笑道：“我宣布放弃国王陛下赐予的奖赏，其实我只是想借此机会显示一下指数的威力！”指数是同一数的连乘积。例如国际象棋的棋盘共有64格，在这些格子里按指数律放米粒，除了第一格放1粒米以外，其余的格子内放的米粒数都是2的连乘积：第二格里的米数是2，第三格里是2x2=4，第四格里是2x2x2=8……以此类推，最后一格－－第六十四格里是2连乘63次，大约等于922亿亿！如一斤米以两万粒计算，就合461万亿斤！将全中国的耕地都拿来种稻米，要好几百年才能收这么多。如果将前面63格里的米粒也算在内，总数还要增加近一倍！这就是指数的威力，难怪国王不知所措了。
自然界中有不少事物是以指数律增长的。细菌的繁殖即为一例：细菌一般是以分裂进行繁殖的，一变二，二变四，四变八……如果环境条件适合，往往几小时就增加一倍！这样的指数增长要不了多久，整个地球表面就被这一种细菌占满了！但是为什么这种灾难从来没有发生过呢？原来指数增长只是一种数学规律，能否在现实世界中发生还要看物质条件。细菌的繁殖需要养料，现实世界中养料是有限的，还有别的生物分享，等到细菌获得的养料将近耗尽时，增长就会减缓以至停顿，这种现象称为饱和。
由于指数增长的速度极快，而且越来越快。只要时间足够长，就会超过天文数字而趋向无限大。所以现实世界中的任何指数增长现象必然会达到饱和。下面是两个实例。
从事电脑和集成电路工作的人都知道有一条根据经验得出的“摩尔定律”：电脑的运行速度及存储容量每隔18个月就增加一倍。这个规律已保持了几十年，迄今为止仍然成立。问题是会不会永远保持下去？根据现实中的指数增长必然会达到饱和的原理，就可以断定摩尔定律决不可能永远保持下去。具体机制是，电脑速度和存储量的增长都是靠不断缩小集成电路晶片上电子元件的尺寸来实现的，目前已经做到比百万分之一米还要小，再继续缩小下去就和原子的直径差不多了。小到这种程度，电子的运动规律就要起变化，微观的量子效应将起主导作用。到那时不仅摩尔的指数增长定律会饱和，而且照老规矩设计的微电路根本无法正常运行。科学家未雨绸缪，已在研究量子元件，为下一代的集成电路作准备了。但不管怎样，摩尔定律不可能永远保持下去。