自然科学论文选读

　　霍金斯和我考虑过如下的有关问题，这是由“20个问题”变化来的一个对策：一个人想好一个1和100（这个数正好是小于22的） 之间的数，另一个人可以问最多20个问题，对每个问题第一个人只回答是或不是。很明显可以这样来猜到那个想好的数，即先问：这个数是在100的前一半里吗？然后下个问题再用“一半”来缩小数的范围，这样问下去，最后在10^2（100）次之内就能猜到这个数。现在假定答者可以说一到二次谎， 这样要问几次才能得到正确答案？显然需要问n次以上才能在2n个数里猜中一个，因为不知道什么时候说谎。这个问题没有得到一般的解决。
　　数学观念和灵感有二个主要的来源——一方面，由外部现实即物质世界的影响而引起；另一方面，由人的生理或许基本上是脑的生理发展过程而引起。从一个不太明显和比较特殊的意义上说，这一点在今天和不久以后的计算机运用上已经和将会继续得到反映，有一个同态象。
　　即使最唯心的认为数学纯粹是人心的创造的观点也须得符合这样的事实：即几何定义和公理——实际上大多数数学概念都是如此——的选择是由外界刺激和对在“外部世界”里进行的观察实验的内省，通过我们的意识获得的印象的结果。例如，概率论就是由有关机会的游戏中的一些问题发展而来的。今天，有许多计算机是专为解决特定数学问题而设计的，靠它们就有希望大为广泛地进行思想实验，将经验理想化，并概括出更为抽象的思维模式。
　　几年前在普林斯顿，庆祝冯•诺伊曼计算机建成25周年大会上，我在讲话时忽然心血来潮，默默地估算起每年数学杂志上有多少定理发表（指那些标明为“定理”的、发表在公认的数学杂志上的命题）。我很快地心算着，连自己也奇怪竟能在谈着完全不相干的事的同时，算出每年约有十万个定理。我马上转过话题，把这说了出来，听众不禁倒吸了一口冷气。读者可能会感兴趣的是，听众中有两个青年数学家第二天跑来跟我说，由于被这极大的数字所震动，他们在院图书馆作了一次系统详细的调查，将杂志种数乘以一年的期数，再乘上每期的页数和平均每页上的定理数，估计下来一年有近二十万条定理。这样一个巨大的数字无疑值得好好思考。人们如果承认数学的意义应该比游戏和智力测验大些，那么这就是一件令人担忧的事情了。危险显然在于数学本身将遭到割裂，分成互不相关的不同科学或许多联系松散的独立学科。我本人希望不要发生这种情况，因为如果定理多到让人无法概观，那么谁能来判断什么是“重要”的呢？这也是个保存资料、存储和检索科学成果的问题。而这现在成了个首要问题，没有人机对话，就无法找出最需要的东西。 要始终跟得上当代的成果，即使仅仅是那些突出的引人注意的成果，实际上也是不可能的。那种认为数学将作为一门统一的科学存在下去的观点与此怎么一致得起来呢？正像一个人不可能见过所有的美女或所有优美的艺术作品而最后只娶了一个美人一样，可以说在数学上一个人是和他自己的小领域结婚的。正因为这样，数学研究的价值评判越来越困难，我们大多数人基本上成了技术师。年轻科学家所研究的数学客体的种类正指数倍地增长，也许，人们不应该把这种现象称之为对思维的亵渎，不过它到有点像大自然造就了无数种不同的昆虫那样，使得世界丰富多彩。但是，多少总让人感到，这同我们对于科学的本质观念，即要去理解、缩写、概括、尤其是发展关于理智和自然现象的记号系统这一点有点背道而驰。