自然科学论文选读

　　每个形式体系，每个规则系统里都有某种戏法。犹太教法典甚至希伯莱神秘教义的有些东西看起来对智力没有什么益处，它们是符合某种语法规则的烹饪配方法的庞大集子，有的或许还有点想象力，有的就玄妙莫测，反正是相当随心所欲的。但许多世纪以来，千万个学者对这些著作进行了钻研、记录、分析和归类，这些工作可能就锻炼了人们的记忆力和推理能力。正像磨刀石可以磨刀一样，大脑可以在思考对象之钝物上磨砺得敏锐起来，各种方式的勤奋思索都有它的价值。
　　数学上有许多命题，就像那个叫做“费马大定理”的，似乎很特殊，与数论的主体无关。它们陈述起来很简单，却使得那些最了不起的天才想要证明它们的全部努力都付诸东流。这些命题激发了青年人才（包括我本人）去思考更为一般的问题。就费马问题来说，由于它本身的专门和自成一脉，在数学发展最近三个世纪里已经导致了数学思想上颇有生命力的新概念的创立。尤其是代数结构中的所谓理想理论。数学史上有一系列这样的创造。
　　可以创造一般的空间概念。它无疑是我们感觉到的物质空间的抽象，但既不完全受其规律支配，也非惟一地为其映象；它可以推广到n大于三的n维甚至直到无限多维空间；它至少作为一种语言在描述物理自身的基础上极为有效——这些都是人脑的能力所创造的奇迹吗？还是物质现实的本性所展现的呢？无限有着不同的等级和种类这一点究竟是发明还是“发现”，这对于敏感善思的头脑不仅有哲学上的影响而且不止于此，还有显著的心理学影响。
　　说到数学当然还有其他科学——特别是物理——的奇异的魅力和神秘的吸引力，不妨注意一下经常发生的一种现象，即下象棋的水平不高的棋手甚至普通新手走出了很有深度的妙局。我经常注意不熟练的或棋艺平常的初学者。在约莫15步以后看他们的盘面就常常会发现双方都有许多妙着可走，这大概总是出于偶然而不是事先构想好的。我就奇怪，撇开那甚至尚未看出这些妙着的幼稚棋手不谈，从这盘棋本身来说是怎么一步步走到这样极富艺术性和耐人寻味的局面的。我不知道“走”的游戏里是否也会有类似的情况。虽然由于对这种绝妙的游戏的门道我本人知之不多而无法判断，但我很想知道，一个内行面对游戏的一个局面是否就说得出这是偶然造成的还是那巧妙游戏的正常的合乎逻辑的发展。 在科学上，特别是数学上，某些算法似乎有类似的奇妙而有趣的现象。它们自身似乎有逐步展开的能力，就像求解问题的过程和观点的逐步发展形成，开始看来只是为特定目的而设计的工具会有一些预想不到、出乎意外的新用途。
　　顺便说起，我想起一个我不知道如何解答的小小哲学难题：假定有一种单人或两人玩的纸牌游戏过程中，玩牌者可以作弊一到二次。例如在坎菲尔德纸牌游戏里，如果有一次而且仅有一次，将牌面改换一二张牌，游戏或者说对策并没有被破坏。它还是一场数学意义上严格、完整的纸牌对策，不过是另一种纸牌对策而已，只是内容变得更丰富一点、更一般化。但要是取一个数学系统，一个公理系统并允许加入一二条错误的命题，结果马上就会是胡说八道，因为只要有一条假命题，就会要什么结果就推得出什么结果。这两者的区别在哪里？也许在于事实上只有游戏可以允许某一类的举动，而数学上一旦引入一条错误命题就会马上得出“零等于一”这样的命题。因此必定有方法可以把数学对策加以推广，使得可以犯一些错误但不会得出绝对的胡说，而只是得到一个更广的系统。