自然科学论文选读

　　第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早的成果，对它的重要性，作任何估价都很难认为是过高的。尽管我认为它的确比现代数学发端中的任何其它事物具有更多的歧义性，但是数学分析的系统，它的逻辑展开仍然是精确思维方面最大的技术上的进步。
　　微积分的起源显然是经验的，开普勒尝试着做的最早的积分，被称为“dolicho-metry”---小桶的量度---即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化、经验的几何学，而不是欧几里得以后的那种几何学，开普勒是完全知道这些的。牛顿和 莱布尼茨的那些主要成果和主要发现确实起源于物理学。牛顿发明的“流数”运算，本质是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一起而得到发展的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不精确的半物理的陈述，是牛顿以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述！没有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由cauchy重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理方法在黎曼那里仍然得到了复萌。黎曼的科学的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样。自weierstrass以来，分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不少绝对真实的。在最近两代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻想。
　　这为我们带来了第三个例子，这个例子更多地是论述数学与哲学或认识的关系，而不是数学和自然科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时有两件事是清楚的：第一，已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者两者任何联系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学能够独立于经验而存在时才能使人注意。第二，不管关于“基础”的争论可能作出的最好解释，数学的经验来源是受到我们较早提到的例子（几何学和微积分）的强有力地支持的。
　　我希望上述的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于经验。很难相信，存在着与人类所有经验相联的绝对的、不可动摇的数学严格性的概念。
　　对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验科学，或者说，所有数学概念都来源于经验主体。现代数学中有各式各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。 或者说，如果可以追溯的话，也是如此间接，显然地自它割断它的经验根源之后，就面目全非了。在有些数学领域中，数学家的主观上的成功标准和作用价值，是自身相容、符合美学和脱离（或几乎脱离）经验。在集合论中，这更为明显。对于实变函数论和实点集论也是如此。然而可能在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对物理学十分有用。
　　数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对真理的逼近。真理太复杂了，以致能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出的创造物方面；它将比任何事物，特别是经验科学来得好。但是，我相信还有问题需要进一步强调，因为一门设想学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是间接地来自“现实性”，是由现实激励生成的第二或第三代学科的话，这是一个最大的危险。它将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化。如果这个领域是由相关联的仍然与经验紧密相联的学科围绕着的话，或者说，如果这些学科处于受到特殊的、训练有素的人的影响之下的话，这不是坏事。但也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言之，远离经验根源，一门数学学科将有退化的危险。