幂函数教案

幂函数教案 篇1

　　教学目标

　　1、使学生掌握的概念，图象和性质。

　　（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

　　（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

　　（3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。

　　2、x通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）x是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

　　（2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。

　　（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

　　教法建议

　　（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。

2.3幂函数 教学设计 篇1

　　教学目标1通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。2使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。3培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。教学重点、难点重点：幂函数的性质及运用难点：幂函数图象和性质的发现过程教学方法：问题探究法    教具：多媒体教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数） 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 ，这里s是a的函数。 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积 ,这里v是a的函数。 问题4：如果正方形场地面积为s，那么正方形的边长 ,这里a是s的函数 问题5：如果某人 s内骑车行进了 km，那么他骑车的速度 ，这里v是t的函数。以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题） 二、新课讲解  由学生讨论，（教师可提示p=w可看成p=w1）总结，即可得出：p=w, s=a2, a=s , v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。 教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数。幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数。 1幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念） 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别： 对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 例1判别下列函数中有几个幂函数？①    y=  ②y=2x2  ③y=x  ④y=x2+x ⑤y=-x3 ⑥  ⑦  ⑧   ⑨ （由学生独立思考、回答）2幂函数具有哪些性质？研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？（学生讨论，教师引导。学生回答。）3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？（学生小组讨论，得到结论。引导学生举例研究。结论：幂指数 不同，定义域并不完全相同，应区别对待。）教师指出：幂函数y=xn中，当n=0时，其表达式y=x0=1;定义域为（-∞，0）u（0，+∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图象是从点（0,1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0,1）要除外。）例2写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：①y=x ②y= ③y=x ④y=x  （学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。引导学生具体问题具体分析，并作简单归纳：分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写出定义域。幂函数的奇偶性也应具体分析。）4上述函数①y=x ②y= ③y=x ④y=x 的单调性如何？如何判断？  （学生思考，引导作图可得。并加上y=x 和y=x-1图象）接下来， 在同一坐标系中学生作图，教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示。见后附图1让学生观察图象，看单调性、以及还有哪些共同点？（学生思考，回答。教师注意学生叙述的严密性。）教师总评：幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）,（2）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并在区间[0，+∞）上是增函数，（3）如果a<0，则幂函数在（0，+∞）上是减函数，在第一区间内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地趋近y轴；当x趋向于+∞，图象在x轴上方无限地趋近x轴。5通过观察例1，在幂函数y=xa中，当a是（1）正偶数、（2）正奇数时，这一类函数有哪种性质？学生思考，教师讲评：（1）在幂函数y=xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。（2）在幂函数y=xa中，当a是正奇数时，函数都是奇函数，在第一象限内是增函数。例3巩固练习  写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x ②y=x ③y=x 。例4简单应用1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：①0.75 ，0.76 ；②(-0.95) ，(-0.96) ；③0.23 ，0.24 ；④0.31 ，0.31 例5简单应用2：幂函数y=(m -3m-3)x 在区间 上是减函数，求m的值。例6简单应用2：已知(a+1) <(3-2a) ,试求a的取值范围。课堂小结今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？1、  幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、  常见幂函数的图象和幂函数的性质。 布置作业：课本p.73 2、3、4、思考5教学后记：⒈达到基本的教学要求：通过五种特殊幂函数的性质和图像的研究，认识幂函数的共同性质和上述每种函数的特殊性质，从而巩固对函数一般性质的认识。

　　范文一：

　　幂函数是一类重要的函数，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经学习了指数函数和对数函数的图象和性质，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究较易接受。因此，在学习过程中，通过例子引入幂函数的概念之后，让学生自己看书，进行合作探究学习。通过研究y=x，y=x2 ，y= x3，y=x ，y=x 等函数的图象和性质，完成探究问题后，让学生得出幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数大于0 时，幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1)，且在第一象限内函数单调递增;当幂指数小于0 时，幂函数的图象都经过点(1，1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为淅近线。在教学过程中，注重从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并时时与指数函数进行对比学习。

　　幂函数中重点研究了五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已学习了y=x，y=x2 ，y=x 等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。所以在教学过程中，先逐个画出五个函数的图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究，得到各自的性质，从而再归纳出幂函数的基本性质。除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法也是至关重要的。从特殊到一般的思想方法，有已知到未知的方法。

教学目标1通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。2使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。3培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。教学重点、难点重点：幂函数的性质及运用难点：幂函数图象和性质的发现过程教学方法：问题探究法    教具：多媒体教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数） 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 ，这里s是a的函数。 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积 ,这里v是a的函数。 问题4：如果正方形场地面积为s，那么正方形的边长 ,这里a是s的函数 问题5：如果某人 s内骑车行进了 km，那么他骑车的速度 ，这里v是t的函数。以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题） 二、新课讲解  由学生讨论，（教师可提示p=w可看成p=w1）总结，即可得出：p=w, s=a2, a=s , v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。 教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数。幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数。 1幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念） 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别： 对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 例1判别下列函数中有几个幂函数？①    y=  ②y=2x2  ③y=x  ④y=x2+x ⑤y=-x3 ⑥  ⑦  ⑧   ⑨ （由学生独立思考、回答）2幂函数具有哪些性质？研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？（学生讨论，教师引导。学生回答。）3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？（学生小组讨论，得到结论。引导学生举例研究。结论：幂指数 不同，定义域并不完全相同，应区别对待。）教师指出：幂函数y=xn中，当n=0时，其表达式y=x0=1;定义域为（-∞，0）u（0，+∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图象是从点（0,1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0,1）要除外。）例2写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：①y=x ②y= ③y=x ④y=x  （学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。引导学生具体问题具体分析，并作简单归纳：分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写出定义域。幂函数的奇偶性也应具体分析。）4上述函数①y=x ②y= ③y=x ④y=x 的单调性如何？如何判断？  （学生思考，引导作图可得。并加上y=x 和y=x-1图象）接下来， 在同一坐标系中学生作图，教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示。见后附图1让学生观察图象，看单调性、以及还有哪些共同点？（学生思考，回答。教师注意学生叙述的严密性。）教师总评：幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）,（2）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并在区间[0，+∞）上是增函数，（3）如果a<0，则幂函数在（0，+∞）上是减函数，在第一区间内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地趋近y轴；当x趋向于+∞，图象在x轴上方无限地趋近x轴。5通过观察例1，在幂函数y=xa中，当a是（1）正偶数、（2）正奇数时，这一类函数有哪种性质？学生思考，教师讲评：（1）在幂函数y=xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。（2）在幂函数y=xa中，当a是正奇数时，函数都是奇函数，在第一象限内是增函数。例3巩固练习  写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x ②y=x ③y=x 。例4简单应用1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：①0.75 ，0.76 ；②(-0.95) ，(-0.96) ；③0.23 ，0.24 ；④0.31 ，0.31 例5简单应用2：幂函数y=(m -3m-3)x 在区间 上是减函数，求m的值。例6简单应用2：已知(a+1) <(3-2a) ,试求a的取值范围。课堂小结今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？1、  幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、  常见幂函数的图象和幂函数的性质。 布置作业：课本p.73 2、3、4、思考5教学后记：⒈达到基本的教学要求：通过五种特殊幂函数的性质和图像的研究，认识幂函数的共同性质和上述每种函数的特殊性质，从而巩固对函数一般性质的认识。
⒉通过观察图像的五种幂函数的性质，体会数形结合的数学思想。
⒊在教学过程中让同学利用计算器自己动手绘图，训练学生基本功，引导学生自主探究。
在本节课的实践中，既出现了我所意想不到的效果，但也留下一些遗憾：
1课堂评价更多关注与个人评价，而忽略了小组合作讲评价，评价方式也不够多样。
⒉利用多媒体课件不多，学生自己动手绘图不多，且图样单调，不容易扩展知识点。
这些不足还有待于我在以后的教学中摸索并改进。

一.　教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二.　学情分析

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三.　教学目标

1.知识目标

（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

 2.能力目标

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3. 情感目标

     通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四.　教学重点  常见的幂函数的图象和性质。

五.　教学难点  画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六.　教学用具  多媒体

七.　教学过程

（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元.这里p是w的函数. （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为s＝a2.这里s是a的函数. （3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为v＝a3.这里v是a的函数. （4）如果一个正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长为a＝ .这里a是s的函数. （5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km/s）.这里v是t的函数. 由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝ ，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式.

定义：
　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
　　定义域和值域：
　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域
　　性质：
　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。